La nueva clasificación de ciertas fases de la materia según su topología es un campo de investigación muy activo que está revolucionando nuestra comprensión de la Naturaleza.
La topología es la descripción matemática de lo robustas que son las formas. Estudia las propiedades de los objetos que son invariantes bajo deformaciones suaves (sin romper ni pegar). Un ejemplo clásico es un donut transformándose en una taza de café. Se dice entonces que el donut y la taza de café tienen el mismo invariante topológico (un agujero). Sin embargo un donut y una esfera tienen distinto invariante topológico.
Dentro de las posibles fases topológicas caben destacar por su actualidad los aislantes topológicos y los superconductores topológicos. Un aislante topológico es un material aislante con una superficie metálica. Esta superficie metálica es robusta e insensible a la presencia de impurezas en el material. El origen de esta superficie metálica es topológico. El gap del aislante separa el estado fundamental de los estados excitados y en física una deformación suave se define como la que no cierra el gap. El material aislante y el aire en el que se encuentra el material, tienen distintos invariantes topológicos. Por lo tanto, estos invariantes cambian cuando se cruza la frontera, por lo que la superficie no puede permanecer aislante y se vuelve metálica. En un aislante topológico la función de onda del electrón contiene la información topológica. Los invariantes topológicos (que se expresan como integrales que involucran la función de onda) no pueden cambiar siempre que el material permanezca aislante.
Los superconductores también tienen gap que también pueden presentar índices topológicos no triviales. Los estados de borde de un superconductor topológico así como los estados de borde formados en la frontera de un aislante topológico y un superconductor, pueden dar lugar a física muy exótica y constituyen un campo de investigación actual con una enorme actividad científica.