Muchos sólidos tienen una estructura cristalina, es decir, una estructura ordenada y periódica. Esta propiedad facilita mucho el cálculo de la ecuación de Schrödinger del sólido.
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Como en un centímetro cúbico hay aproximadamente 1023 átomos (un uno seguido de 23 ceros) resolver 1023 ecuaciones de Schrödinger acopladas es una tarea imposible para el ordenador más potente de la Tierra y se hacen aproximaciones.
Dos de las mayores aproximaciones es que los iones (átomos que han recibido o perdido algún electrón) entran fundamentalmente como un potencial periódico (aproximación estática) y los electrones de la capa externa del átomo no interaccionan entre si (aproximación de electrones libres). En este caso las ecuaciones de Schrödinger están desacopladas por lo que sólo hay que resolver una ecuación de Schrödinger y sumar las energías. Como resultado se obtiene la teoría de bandas que permite clasificar a los sólidos en metales, aislantes y semiconductores.
[Foto de bandas]
Las bandas son estados permitidos separadas por un rango de energías prohibidas denominadas gap de una forma similar a las energías prohibidas y permitidas de los átomos, solo que al haber 10²³ electrones en vez de una energía específica se forma un rango de energías permitidas (banda) o prohibidas (gap).
Una vez calculadas las bandas de energía se llenan con los electrones usando el Principio de exclusión de Pauli y el último nivel cuántico ocupado en el cero absoluto de temperatura se llama energía de Fermi. La energía de Fermi es una cantidad importante en física del estado sólido ya que determina las propiedades físicas del sistema tales como transporte de electricidad o de calor. La energía de Fermi se puede medir con diversas técnicas. Este estado cuántico a temperatura cero es el estado fundamental del sistema de estudio.
Si la energía de Fermi se sitúa dentro de una banda permitida tenemos un metal. Sin embargo, si la banda se llena tenemos un aislante o un semiconductor. La diferencia entre aislante y semiconductor está en el tamaño del gap (gap > 3eV hablaríamos de un aislante, gap < 3eV sería un semiconductor). Por ejemplo, el Silicio que es el semiconductor base de todos los transistores usados en los chips de los ordenadores, móviles y componentes electrónicos, tiene un gap de 1.1 eV.
En un metal la interacción entre los electrones se suele tomar de una forma efectiva. Estos metales reciben el nombre de «líquido de Fermi». Esta aproximación es muy útil porque podemos reducir el problema complejo de electrones que interactúan a un problema de partículas efectivas independientes, llamadas cuasielectrones. Son también fermiones como los electrones pero con una masa efectiva m* donde se encuentra el efecto de la interacción. De esta forma podemos seguir definiendo la energía de Fermi.
En superconductividad es importante relajar la hipótesis de la aproximación estática porque la interacción de los electrones con las vibraciones cuantizadas de los iones (fonones) es precisamente el pegamento de los pares de Cooper en los superconductores convencionales. Por otro lado gran parte de la comunidad científica cree que la clave para el posible pegamento de los pares de Cooper en los superconductores no convencionales viene de la interacción entre los electrones. El problema se torna entonces muy complicado y es necesario hacer aproximaciones analíticas y numéricas. Este problema se sitúa en el marco de un problema más general que son los sistemas de electrones fuertemente correlacionados. Otra parte de la comunidad científica cree que la clave para el pegamento de los pares de Cooper de los superconductores no convencionales está en ambas, en la interacción electrón-electrón junto con la interacción electrón-fonón.